Problemas de tiro parabólico

Ejercicio 1

Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún jugador, calcular:

• Altura máxima del balón
• Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
• Tiempo en que la pelota estará en el aire

SOLUCIÓN:

Resolveremos el problema de dos maneras: aplicando directamente las fórmulas específicas o, en segundo lugar, partiendo de las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA.

En primer lugar, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

La componente vertical de la velocidad inicial será:

La altura máxima será:

El alcance del saque del portero será:

Calcularemos el tiempo de vuelo de la pelota:

Ahora vamos a resolver el mismo problema, pero partiendo de las fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical. Recordemos que la aceleración aquí es la aceleración de la gravedad g, con valor -9,81 m/s² (signo negativo por ser el sentido de la gravedad contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial v_0y).

En el punto en que el balón alcanza la altura máxima, su componente de velocidad vertical será vy = 0 m/s, ya que deja de subir y empieza a descender. Aplicamos la fórmula de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En este caso será:

Como v_y = 0:

Tiempo que tarda en llegar el balón a su punto más alto. Ahora aplicamos la ecuación del espacio en el MRUA, para averiguar la altura máxima, sabiendo el tiempo que ha invertido en llegar a ella:

Nos queda saber el alcance. Como el movimiento parabólico es simétrico, tardará lo mismo en llegar al punto más alto que luego, desde allí, bajando llegar a tocar el césped, es decir 1,7 · 2 = 3,4 seg.

Aplicamos la fórmula del espacio del MRU, por más sencilla, que en este caso será:

Nota: la diferencia en los decimales en el resultado de los dos procedimientos se debe al redondeo.

Ejercicio 2

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Están jugando en el patio de un colegio, cuando el balón sale al exterior por encima de la valla del campo. Un hombre le da una patada al balón para devolverlo al interior. Sabiendo que el muro del patio tiene 3 m de altura, que el hombre está a 53 m del muro y que patea el balón a 24 m/s con un ángulo de 55°, averiguar si consigue que la pelota vuelva a entrar al patio pasando sobre el muro.

SOLUCIÓN:

En este problema, emplearemos también fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical.

En primer lugar, volvemos a descomponer el vector velocidad inicial v₀ en sus dos componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

La componente vertical de la velocidad inicial será:

Resolveremos el problema aplicando las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA. Como el hombre chuta el balón a 53 m del muro y la componente horizontal de la velocidad es 13,77 m/s, por la ecuación del MRU tendremos:

Que será el tiempo en llegar al balón al muro, ya que éste está a 53 m. Ahora, para ver si lo sobrepasa, aplicamos una fórmula del MRUA:

Recordamos que la aceleración es la de la gravedad g, con signo contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial.

La respuesta al ejercicio es que el hombre no ha conseguido meter el balón en el patio, puesto que el muro tiene una altura de 3 m y el balón ha impactado contra él a 2,98 m. Deberá volverlo a intentar, quizás acercándose más al muro.

Ejercicio 3

En una prueba de atletismo de lanzamiento de peso, el atleta logra una marca de 22 m. Sabiendo que la bola sale de su mano a 2 m del suelo y con un ángulo de 45°, averiguar la velocidad inicial del lanzamiento.

SOLUCIÓN:

Para resolver el problema, igualmente emplearemos las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que componen,como se ha repetido, el movimiento parabólico. Del movimiento MRU usaremos la fórmula:

Sabemos que v₀ · cos θ es la componente horizontal de la velocidad v₀). Despejamos el tiempo y la velocidad:

Ahora, vamos a la fórmula del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Sabemos también que v₀ · sen θ es la componente vertical de la velocidad v₀ y que la aceleración es la de la gravedad g con signo negativo, al ser contraria a la velocidad inicial. La altura final será cero, y = 0 m, puesto que la bola impacta en el suelo. La altura inicial será a la que suelta el atleta la bola de la mano, y₀ = 2 m). Sustituimos por la expresión de t antes obtenida y ponemos los valores conocidos:

Despejamos de esta ecuación la t, pues tan 45° = 1.

Volvemos a la expresión anterior de v₀.

Por lo tanto, 14,1 m/s será la velocidad de lanzamiento v₀ buscada.